Sadržaj

• smjerovi
• savjeti
• upozorenje

Definicija epsilon-delta je dokaz da učenici uče u prvoj godini nastave matematike. Ova definicija je klasičan način pokazivanja da funkcija pristupa određenom pragu jer se neovisna varijabla približava određenoj vrijednosti. Epsilon i delta su četvrto i peto slovo grčke abecede. Ta se pisma tradicionalno koriste u procesu izračunavanja granica i također se koriste u demonstracijskim procesima.

smjerovi

Definicija epsilon-delta koristi se za rješavanje graničnih pitanja. (Jupiterimages / Photos.com / Getty Images)

1. Treba početi raditi s formalnom definicijom granica. Ova definicija navodi da je "granica f (x) L, budući da se x približava k, ako za svaki epsilon veći od nule postoji odgovarajuća delta, veća od nule, tako da, kada vrijednost apsolutna razlika između x i k je manja od delta, apsolutna vrijednost razlike između f (x) i L će biti manja od epsilona. "Neformalno, to znači da je granica f (x) L, kada se x približava k, ako je moguće napraviti f (x) što je bliže L po želji, približavanjem x na k. Da bi se provela demonstracija epsilon-delta, mora se pokazati da je moguće definirati delta u smislu epsilona, ​​za danu funkciju i granicu.

2. Manipulirajte izjavom "| f (x) - L | je manja od epsilona" dok ne dobijete | x - k | manje od neke vrijednosti. Smatraj ovu "neku vrijednost" delti. Zapamtite formalnu definiciju i središnju ideju, koja kaže da je potrebno pokazati da za svaki epsilon postoji delta, koja između njih uspostavlja odnos koji čini definiciju istinitom. Zbog toga je potrebno definirati deltu u smislu epsilona.

   
   

3. Primijetite sljedećih nekoliko primjera kako biste shvatili kako se definicija nastavlja. Na primjer, da bi dokazali da je granica 3x-1 jednaka 2, kada se x približava 1, uzmemo u obzir k = 1, L = 2 i f (x) = 3x-1. Biti sigurni da | f (x) - L | je manje od epsilona, ​​do | (3x - 1) - 2 | niže od epsilona. To znači da | 3x - 3 | je manje od epsilona, ​​tako da je 3 | x - 1 | je također, ili || x - 1 | je manja od epsilon / 3. Dakle, s obzirom na delta = epsilon / 3, | f (x) - L | će biti manje od epsilon kad god | x - k | je manji od delta.

savjeti

• Središnji dio dokaza je transformirati f (x) - L u x - k. Ako zadržite taj cilj na umu, ostatak demonstracije će se odvijati savršeno.

upozorenje

• U nekim situacijama, granica funkcije može ukazivati ​​da f (x) teži beskonačnosti kad god x teži beskonačnosti. Definicija epsilon-delte ne djeluje u tim slučajevima; u takvim situacijama, slične demonstracije mogu se izvesti odabirom dva velika broja, M i N, i pokazujući da f (x) može premašiti M uzrokujući da x premaši N, i M može biti onoliko velik koliko se želi.